命題３３
等しい円における角は、角が中心か円周のどちらで立っていてもその角が立っている円周と同じ比を持つ。
ABCとDEFを等しい円とし、角BGCとEHFをそれらの中心GとHで角とし、角BACとEDFを円周角とせよ。
円周BCは円周EFに対し、角BGCは角EHFに対し、角BACは角EDFに対すると主張する。
任意個の連続な円周CK、KLが円周BCに等しく、任意個の連続な円周FM、MNが円周EFに等しく作り、GKとGLとHMとHNを結ぶ。
そのとき、円周BC、CKとKLは互いに等しいので、角BGC、CGKとKGLもまた等しい。
それゆえに、円周BLはBCの何倍でも角BGLもまた角BGCの同倍である。propositionⅢ．２７
同じ理由で、円周NEはEFの何倍でも、角NHEもまた角EHFの同倍である。
もし、円周BLが円周ENに等しければ、そのとき、角BGLもまた角EHNに等しく、円周BLが円周ENより大きければ、角BGLもまた角EHNより大きく、小さければ小さい。propositionⅢ．２７
４つの量、２つの円周BCとEFと２つの角BGCとEHFがあって、円周BCと角BGCの同倍量、つまり、円周BLと角BGL、そして、円周EFと角EHFの同倍量、つまり、円周ENと角EHNがとられている。
そして、もし円周BLが円周ENより大きければ、角BGLもまた角EHNより大きく、等しければ等しく、小さければ小さいことは証明されている。
それゆえに、円周BCはEFに対し、角BGCは角EHFに対する。definitionⅤ．５
しかし、それぞれ２倍なので、角BGCは角EHFに対し、角BACは角EDFに対する。propositionⅤ．１５、propositionⅢ．２０
それゆえに、円周BCは円周EFに対し、角BGCは角EHFに対し、角BACは角EDFに対する。
それゆえに、等しい円における角は、角が中心か円周のどちらで立っていてもその角が立っている円周と同じ比を持つ。
証明終了